Question

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由．

Answer

（1）取BD的中点O，连AO，以O为原点建立空间直角坐标系，分别求出异面直线AB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）设，根据BF⊥面ACD，则BF⊥CA，BF⊥AD，我们分别求出BF，CA，AD对应向量的坐标，结合向量垂直数量积为0，可以构造关于λ的方程，解方程求出满足条件的λ值，进而即可求出CF的长度；
【解析】
（1）取BD的中点O，连AO，则AO⊥面CBD．
以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，，0），D（-1，0，0）．
，，．
所以所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为；                       （5分）
（2）设，
则
由BF⊥面ACD得：

解得，
，（5分）