2010-2011学年江西省抚州市临川一中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；
④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④

4. 难度：中等

已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2xf′（1），则f（-1）与f（1）的大小关系是（ ）
A．f（-1）=f（1）
B．f（-1）＞f（1）
C．f（-1）＜f（1）
D．不能确定

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（ ）

A．以上四个图形都是正确的
B．只有（2）（4）是正确的
C．只有（4）是错误的
D．只有（1）（2）是正确的

10. 难度：中等

三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=3CM，试问下面的四个图象中，那个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系（x∈[0，3]）（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x³-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为     ．

12. 难度：中等

若正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥外接球的半径与侧棱长之比为    ．

13. 难度：中等

如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为    ．

14. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=16，则a₁+a₃+a₅=   

15. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁的距离相等的点，则M点的轨迹是直线A₁D₁，
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知几何体的三视图如下，正视图由两个边长为2cm的正方形构成，俯视图为正三角形，试求该几何体的表面积和体积．

17. 难度：中等

已知函数；
（1）求函数在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数在[0，2]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

设定函数，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC；
（2）求AB与平面BDF所成角的大小．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

21. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-px+1，其中p为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；
（Ⅲ）求证：．