2013年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x（x-1）＜0，x∈R}，B={x|-2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜1，x∈R}
C．{x|-2＜x＜2，x∈R}
D．{x|-2＜x＜1，x∈R}

2. 难度：中等

如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[90，100），则图中x的值等于（ ）

A．0.754
B．0.048
C．0.018
D．0.012

3. 难度：中等

已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（ ）
A．（x-1）²+y²=1
B．x²+（y-1）²=1
C．（x+1）²+y²=1
D．x²+y²=2

4. 难度：中等

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知sin（）=，那么sin2x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到y轴的距离等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃）•f（log₃），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（1，λ），若，则λ=    ．

10. 难度：中等

若复数是纯虚数，则实数a的值为    ．

11. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=2，S₄=5S₂，则a₁的值为    ，S₄的值为    ．

12. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且过点C的割线CMN交AB的延长线于点D，若CM=MN=ND，AC=2，则CM=    ，AD=    ．

13. 难度：中等

5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有    种．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，若对任意的n∈N^*，都有-=t（t为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{a_n}满足a_n=，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差t=；
③若数列{c_n}满足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．

16. 难度：中等

某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）

	优秀	良好	合格
男	180	70	20
女	120	a	30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求证：AD⊥AC′；
（2）若M，N分别是BD，C′B的中点，求二面角N-AM-B的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x，y）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况．

19. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上一动点P（x，y）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），求x₁²+y₁²的取值范围．
（3）如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的N∈N^*，有a_n+T=a_n；
（3）设S=++…++…，问S是否为有理数，说明理由．