Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的N∈N^*，有a_n+T=a_n；
（3）设S=++…++…，问S是否为有理数，说明理由．

Answer

（1）由题意可得，a4=a2=a1，a7=a4×2-1，结合已知可求
（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N*满足条件，然后分类讨论：分T为奇数，设T=2t-1（t∈N*），及T为偶数，设T=2t（t∈N*），两种情况进行推理，推到出矛盾即可证明
（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，则存在正整数N，T，对任意的n∈N*，且n≥N，有an+T=an，结合（2）的讨论分T为奇数，T为偶数，两种情况进行讨论即可求解
【解析】
（1）由题意可得，a4=a2=a1=1，a7=a4×2-1=0
（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N*，有an+T=an；
则存在无数个正整数T使得对任意的n∈N*，有an+T=an；．
设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N*），
则a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0
与已知a4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N*），
则a2n+T=a2n=an，
而a2n+T=a2n+2t=an+t
从而an+T=an．
而t＜T与T为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．
（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，
则存在正整数N，T，对任意的n∈N*，且n≥N，有an+T=an．
与（Ⅱ）同理，设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N*），
当4n+1≥N时，有a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0．
与已知a4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N*），
当n≥N时，有a2n+T=a2n=an，
而a2n+T=a2n+2t=an+t
从而an+t=an
而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．
故S不是有理数．            …（13分）