Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃）•f（log₃），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

Answer

构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（-∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．
【解析】
令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）-xf′（x）．
因为f（x）+xf′（x）＜0，
所以函数F（x）在x∈（-∞，0）上为减函数．
因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，
所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．
所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
又30.3＞3=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．
则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．
所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），
即c＞a＞b．
故选C．