2013年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＞0}，则∁_UA=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足z=i（2-z）（i是虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是θ，则tan2θ=    ．

4. 难度：中等

若关于x、y的二元一次方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是    ．

5. 难度：中等

已知函数y=f（x）和函数y=log₂（x+1）的图象关于直线x-y=0对称，则函数y=f（x）的解析式为    ．

6. 难度：中等

已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为    ．

7. 难度：中等

函数的最小正周期T=    ．

8. 难度：中等

若（1+2x）ⁿ展开式中含x³项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=    ．

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．    ．

10. 难度：中等

已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为    cm．

11. 难度：中等

某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是     （结果用最简分数表示）．

12. 难度：中等

正项无穷等比数列a_n的前n项和为S_n，若，则其公比q的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知两个不相等的平面向量，（）满足||=2，且与-的夹角为120°，则||的最大值是    ．

14. 难度：中等

给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，…，1074按顺序构成数列{b_n}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b₁，b_s，b_t成等差数列，试写出一组（s，t）的值    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知a∈（，π），sina=，则tan（a-）等于（ ）
A．-7
B．-
C．7
D．

16. 难度：中等

已知圆C的极坐标方程为ρ=asinθ，则“a=2”是“圆C与极轴所在直线相切”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

17. 难度：中等

若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则 （ ）
A．a²+b²≤4
B．a²+b²≥4
C．
D．

18. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e^x-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“Ω集合”的序号是（ ）
A．②③
B．③④
C．①②④
D．①③④

三、解答题

19. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与平面B₁BCC₁所成角的大小；
（2）求二面角E-AF-B的大小．

20. 难度：中等

如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+a．
（1）若是偶函数，在定义域上F（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，令g（x）=f（f（x））-λf（x），问是否存在实数λ，使g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知点A（1，0），P₁、P₂、P₃是平面直角坐标系上的三点，且|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差数列，公差为d，d≠0．
（1）若P₁坐标为（1，-1），d=2，点P₃在直线3x-y-18=0上时，求点P₃的坐标；
（2）已知圆C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），过点A的直线交圆于P₁、P₃两点，P₂是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；
（3）若P₁、P₂、P₃都在抛物线y²=4x上，点P₂的横坐标为3，求证：线段P₁P₃的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=a（a≠3），，设，n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求实数a的最小值；
（3）当a=4时，给出一个新数列{e_n}，其中，设这个新数列的前n项和为C_n，若C_n可以写成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，则称C_n为“指数型和”．问{C_n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．