Question

如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer

（1）在△POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．
（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则，利用
两角和差的正弦公式化为，可得时，S（θ）取得最大值为．
解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．
【解析】
（1）在△POC中，，OP=2，OC=1，
由
得PC2+PC-3=0，解得．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴，
在△POC中，由正弦定理得，
即，∴．
又，∴．
记△POC的面积为S（θ），则=
===
==，
∴时，S（θ）取得最大值为．
解法二：，即OC2+PC2+OC•PC=4．
又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，
所以，∵OC=PC，
∴时，S（θ）取得最大值为．