1. 难度:中等 | |
复数在复平面上对应的点的坐标是 . |
2. 难度:中等 | |
已知集合,B={0,1,2},若A⊆B,则x= . |
3. 难度:中等 | |
为了调查城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为 . |
4. 难度:中等 | |
函数f(x)=x3-3x,x∈[-1,3]的最大值为 . |
5. 难度:中等 | |
袋中装有大小相同且质地一样的五个球,五个球上分别标有“2”,“3”,“4”,“6”,“9”这五个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 . |
6. 难度:中等 | |
若一个正方形的四个顶点都在双曲线C上,且其一边经过C的焦点,则双曲线C的离心率是 . |
7. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0),且a2=b2+1,则不等式f(x)>0的解集是 . |
8. 难度:中等 | |
已知四点O(0,0),A(t,1),B(2,3),C(6,t),其中t∈R.若四边形OACB是平行四边形,且点P(x,y)在其内部及其边界上,则2y-x的最小值是 . |
9. 难度:中等 | |
函数的部分图象如图所示,则= . |
10. 难度:中等 | |
在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 . |
11. 难度:中等 | |
对于问题:“已知两个正数x,y满足x+y=2,求的最小值”,给出如下一种解法: Qx+y=2,∴==, Qx>0,y>0,∴,∴, 当且仅当,即时,取最小值. 参考上述解法,已知A,B,C是△ABC的三个内角,则的最小值为 . |
12. 难度:中等 | |
过直线l:y=2x上一点P做圆的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线l对称时,则∠APB= . |
13. 难度:中等 | |
设Sn为数列{an}的前n项之和.若不等式对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立,则λ的最大值为 . |
14. 难度:中等 | |
已知函数f(x)满足,当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是 . |
15. 难度:中等 | |
已知函数. (1)当m=0时,求函数f(x)在区间上的取值范围; (2)当tanα=2时,,求m的值. |
16. 难度:中等 | |
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,D为BC中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1; (Ⅱ)求证:C1A⊥B1C. |
17. 难度:中等 | |
如图,某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距()海里的M,N两地,他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB,设塔底延长线与海平面交于点O.已知点M在点O的正东方向,点N在点O的南偏西15°方向,ON=2海里,在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°. (1)求信号塔AB的高度; (2)乙船试图在线段ON上选取一点P,使得在点P处观测信号塔AB的视角最大,请判断这样的点P是否存在,若存在,求出最大视角及OP的长;若不存在,说明理由. |
18. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=xe-x(x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x); (Ⅲ)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2. |
19. 难度:中等 | |
给定椭圆,称圆心在坐标原点x∈[2,6],半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F2距离为. (Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ)若过点P(0,m)(m<0)的直线l与椭圆C只有一个公共点,且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求m的值; (Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由. |
20. 难度:中等 | |
已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列. (1)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<5b2+a88-180,求整数q的值; (2)在(1)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续P(P∈N,P≥2)项和?请说明理由; (3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数)求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项. |
21. 难度:中等 | |
如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点P,CE=BE,点E在BC上.求证:PE是⊙O的切线. |
22. 难度:中等 | |
已知矩阵A=,若直线y=kx在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(1,5),求实数k的值. |
23. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,曲线C1和C2的参数方程分别为(为参数)和(θ为参数).分别写出曲线C1和C2的普通方程并求出曲线C1与C2的交点坐标. |
24. 难度:中等 | |
已知正实数a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2. |
25. 难度:中等 | |
如图,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中点. (1)求证:AE⊥平面PBC; (2)求二面角B-PC-D的余弦值. |
26. 难度:中等 | |
(1)已知k、n∈N*,且k≤n,求证:; (2)设数列a,a1,a2,…满足a≠a1,ai-1+ai+1=2ai(i=1,2,3,…).证明:对任意的正整数n,是关于x的一次式. |