2012年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b且直线a⊥c”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知直线l：xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（a+β）=（ ）
A．
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果依次输入函数：f（x）=3^x、f（x）=sinx、f（x）=x³、，那么输出的函数f（x）为（ ）

A．3^x
B．sin
C．x³
D．

5. 难度：中等

已知符号函数sgn=，则函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x的零点个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y-ax仅在点（-3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，5）
B．（-1，2）
C．
D．

7. 难度：中等

“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2．则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为（ ）
A．18
B．24
C．27
D．36

8. 难度：中等

设S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是（ ）
A．存在有限集S，S是一个“和谐集”
B．对任意无理数a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和谐集”
C．若S₁≠S₂，且S₁，S₂均是“和谐集”，则S₁∩S₂≠∅
D．对任意两个“和谐集”S₁，S₂，若S₁≠R，S₂≠R，则S₁∪S₂=R

二、填空题

9. 难度：中等

计算=    ．

10. 难度：中等

某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60，90）内的学生人数为    ．

11. 难度：中等

抛物线y²=8x的准线l与双曲线C：-y²=1相切，则C的离心率e=    ．

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的第5项是二项式展开式的常数项，则a₃a₇=    ．

13. 难度：中等

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，点到曲线上的点的最短距离为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，-＜φ＜），其部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP的值．

17. 难度：中等

随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系，得到下面的数据表：

休闲方式 性别	看电视	看书	合计
男	10	50	60
女	10	10	20
合计	20	60	80

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K^2≥K）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K	2.072	2.706	3.841	5.042	6.635

18. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，，沿BD将△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O．

（1）当α为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？
（2）当AD⊥BC时，求α的大小．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

20. 难度：中等

已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，（其中e为自然对数的底数）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n，求证：，．