Question

设S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是（ ）
A．存在有限集S，S是一个“和谐集”
B．对任意无理数a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和谐集”
C．若S₁≠S₂，且S₁，S₂均是“和谐集”，则S₁∩S₂≠∅
D．对任意两个“和谐集”S₁，S₂，若S₁≠R，S₂≠R，则S₁∪S₂=R

Answer

根据已知中关于和谐集的定义：S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”．我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案．
【解析】
A是真命题 S={0}是和谐集；
B是真命题：
设 x1=k1a，x2=k2a，k1，k2∈Z
x1+x2=（k1+k2）a∈S
x1-x2=（k1-k2）a∈S
∴S={x|x=ka，a是无理数，k∈Z）是和谐集
C是真命题：任意和谐集中一定含有0，
∴S1∩S2≠∅；
D假命题
取S1={x|x=2k，k∈Z}，S2={x|x=3k，k∈Z∈}
S1，S2均是和谐集，但5不属于S1，也不属于S2
∴S1∪S2不是实数集．
故选D．