2009-2010学年上海市黄浦区大同中学高三（下）开学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=arcsin（x²-x）的值域为    ．

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3^x-1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-8）=   

3. 难度：中等

方程3z+|z|=1-3i的解是    ．

4. 难度：中等

设数集，，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的长度的最小值是    ．

5. 难度：中等

若多项式x²+x¹⁰=a+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，则a₉=    ．

6. 难度：中等

设，若，则x=    ．

7. 难度：中等

已知a，b，c是半径为1的圆内接△ABC的三边，且S_△ABC=1，则以sinA，sinB，sinC为三边组成的三角形的面积为    ．

8. 难度：中等

设数列{a_n}是公比为q＞0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围为    ．

9. 难度：中等

若从男女同学n人中挑选一人为队长，现知男同学比女同学多12人，女同学当选的概率为，则n=    ．

10. 难度：中等

定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-，0）对称，且满足f （x）=-f （x+），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=    ．

11. 难度：中等

已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P_n-1，设左焦点为F₁，则=    ．

12. 难度：中等

如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为    ，数据落在（2，10）内的概率约为    ．

13. 难度：中等

已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，，AD=8，则B，C两点间的球面距离是    ．

14. 难度：中等

设x，y满足如下条件：以为三边可构成锐角三角形，在直角坐标平面上可以作出所有这样的以（x，y）为坐标的点集，则限定这个点集的曲线方程为（写出最简形式）：    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若数列{a_n}中，a_n=，则{a_n}为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．从某项后为递减
D．从某项后为递增

16. 难度：中等

函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）=x+sin
B．
C．f（x）=xcos
D．

17. 难度：中等

已知f（x）为定义在R上的周期函数，g（x）为定义在R上的非周期函数，且g（x）≥0，则下列命题正确的个数是（ ）
①[f（x）]²必为周期函数；
②f（g（x））必为周期函数；
③不是周期函数；
④g（f（x））必为周期函数．
A．3
B．2
C．1
D．0

18. 难度：中等

曲线C₁：y=sinx（x∈R）和C₂：x²+（y+r）²=r²（r＞0）交点的个数（ ）
A．没有
B．有，且为奇数个
C．有，且为偶数个
D．有，但不能确定

三、解答题

19. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

20. 难度：中等

若关于x的方程（其中z∈C）有实数根，在使得复数z的模取到最小时，该方程的解为    ．

21. 难度：中等

设y关于变量x，θ（x，θ∈R）的函数为：y=f（x，θ）=x²-2xcos2θ+cos²2θ-sin²θ+4sinθcosθ+2cos²θ，求y=f（x，θ）的最小值，并求此时θ和x的值．

22. 难度：中等

在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（1）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（2）在平面直角坐标系xoy面上，设点M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点M_n在直线l上，M_n中最高点为M_k，若称直线l与x轴．直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线l在区间[a，b]上的面积，试求直线l在区间[x₃，x_k]上的面积；
（3）若存在圆心在直线l上的圆纸片能覆盖住点列M_n中任何一个点，求该圆纸片最小面积．

23. 难度：中等

设数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}，A与B中的元素不完全相同，分别从A、B中的n个元素中任取m（m≤n）个元素作和，各得C_n^m个和．若由A得到的C_n^m个和与由B得到的C_n^m个和恰好完全相同，则称数组A与B是n元中取m的全等和数组，简记为DH_n^m数组．
（1）判断数组A：{5，15，25，45}与B：{0，20，30，40}是否为DH₄²数组？
（2）若数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m数组（m≤n），求证：数组A与B一定是DH_nⁿ数组
（3）给定数组A：{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中a₁≤a₂≤a₃≤a₄，问是否存在数组B，使得数组A与B为DH₄²数组？若存在，则求出数组B；若不存在，请说明理由．