Question

设数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}，A与B中的元素不完全相同，分别从A、B中的n个元素中任取m（m≤n）个元素作和，各得C_n^m个和．若由A得到的C_n^m个和与由B得到的C_n^m个和恰好完全相同，则称数组A与B是n元中取m的全等和数组，简记为DH_n^m数组．
（1）判断数组A：{5，15，25，45}与B：{0，20，30，40}是否为DH₄²数组？
（2）若数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m数组（m≤n），求证：数组A与B一定是DH_nⁿ数组
（3）给定数组A：{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中a₁≤a₂≤a₃≤a₄，问是否存在数组B，使得数组A与B为DH₄²数组？若存在，则求出数组B；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在数组A：{5，15，25，45}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，同样在B：{0，20，30，40}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，故A与B为DH42数组
（2）求证数组A与B一定是DHnn数组，即求证a1+a2+…an=b1+b2+…bn，由数组A：{a1，a2，…，an}与数组B：{b1，b2，…，bn}是DHnm数组，则由A得到的Cnm个和与由B得到的Cnm个和恰好完全相同，由此可证
（3）假设存在数组B：{b1，b2，b3，b4}（不妨设b1≤b2≤b3≤b4）与A是DH42数组，则有a1+a2=b1+b2、a1+a3=b1+b3、a2+a4=b2+b4、a3+a4=b3+b4不妨设b1=a1-q则b2=a2+q，b3=a3+q，b4=a4-q   故，若q=0，则存在唯一数组B，否则不存在
【解析】
（1）A中C42个和为：20，30，40，50，60，70B中C42个和为：20，30，40，50，60，70
∴A与B为DH42数组
（2）证明：从A中任取m个元素作和共得Cnm个数，再将Cnm个数作和记为S，
在Cnm个数中a1、a2、…、an都分别出现了Cn-1m-1次，故S=Cn-1m-1（a1+a2+…an）
同样从B中任取m个元素作和共得Cnm个数，这些数的和为S'，S'=Cn-1m-1（b1+b2+…bn）
显然S=S'∴a1+a2+…an=b1+b2+…bn
即A与B为DHnn数组
（3）假设存在数组B：{b1，b2，b3，b4}（不妨设b1≤b2≤b3≤b4）与A是DH42数组，
则有a1+a2=b1+b2、a1+a3=b1+b3、a2+a4=b2+b4、a3+a4=b3+b4
不妨设b1=a1-q则b2=a2+q，b3=a3+q，b4=a4-q
从而a2+a3=b1+b4（不能等于b2+b3否则q=0与题意不符）
故
①a1+a4≠a2+a3，则一定存在唯一数组B：{a1-q，a2+q，a3+q，a4-q}
（其中）与A是DH42数组
②a1+a4=a2+a3，则不存在数组B与A是DH42数组．