1. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cosB=,BC=26. 求:(1)cos∠DAC的值; (2)线段AD的长. |
2. 难度:中等 | |
已知∠MAN,AC平分∠MAN. (1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC; (2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (3)在图3中:①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC; ②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示),并给出证明. |
3. 难度:中等 | |
附加题:由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得S△ABC=bc•sin∠A①,即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半. 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ,即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ② 你能利用直角三角形边角关系,消去②中的AC、BC、CD吗?不能,说明理由;能,写出解决过程. |
4. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tanB=cos∠DAC. (1)求证:AC=BD; (2)若sin∠C=,BC=12,求AD的长. |
5. 难度:中等 | |
如图所示,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=. 求:(1)点B的坐标;(2)cos∠BAO的值. |
6. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2. (1)求证:DC=BC; (2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论; (3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值. |
7. 难度:中等 | |
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△A1B1C1,连接BB1.设CB1交AB于D,AlB1分别交AB、AC于E、F. (1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外); (2)当△BB1D是等腰三角形时,求α; (3)当α=60°时,求BD的长. |
8. 难度:中等 | |
已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB=. 求:(1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值. |
9. 难度:中等 | |
如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,BC=4,请你建立适当的直角坐标系,并写出A,B,C各点的坐标. |
10. 难度:中等 | |
在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在点Q处,AD与PQ相交于点H,∠BPE=30°. (1)BE的长为______,QF的长为______; (2)四边形PEFH的面积为______ |
11. 难度:中等 | |
(1)如图1,在△ABC中,∠B、∠C均为锐角,其对边分别为b、c,求证:=; (2)在△ABC中,AB=,AC=,∠B=45°,问满足这样的△ABC有几个在图2中作出来(不写作法,不述理由)并利用(1)的结论求出∠ACB的大小. |
12. 难度:中等 | |
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=,求∠B的度数及边BC、AB的长. |
13. 难度:中等 | |
先阅读短文,再解答短文后面的问题: 在几何学中,通常用点表示位置,用线段的长度表示两点间的距离,用一条射线表示一个方向. 在线段的两个端点中(如图),如果我们规定一个顺序:A为始点,B为终点,我们就说线段AB具有射线的AB方向,线段AB叫做有向线段,记作,线段AB的长度叫做有向线段的长度(或模),记作. . 有向线段包含三个要素、始点、方向和长度,知道了有向线段的始点,它的终点就被方向和长度惟一确定. 解答下列问题: (1)在平面直角坐标系中画出有向线段(有向线段与x轴的长度单位相同),,与x轴的正半轴的夹角是45°,且与y轴的正半轴的夹角是45°; (2)若的终点B的坐标为(3,),求它的模及它与x轴的正半轴的夹角a的度数. |
14. 难度:中等 | |
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠B=30°,CD=6,求AB的长. |
15. 难度:中等 | |
等腰三角形的底边长20 cm,面积为cm2,求它的各内角. |
16. 难度:中等 | |
在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求cosB、sinA. |
17. 难度:中等 | |
根据下列条件,求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8,∠B=60度;(2)∠B=45°,AC=. |
18. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,CD=4,∠ACB=∠D,tan∠B=,求梯形ABCD的面积. |
19. 难度:中等 | |
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,BC=30,求AD的长. |
20. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,AC=15,BC=18,sinC=,D是AC上一个动点(不运动至点A,C),过D作DE∥BC,交AB于E,过D作DF⊥BC,垂足为F,连接BD,设CD=x. (1)用含x的代数式分别表示DF和BF; (2)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数关系式; (3)如果△BDF的面积为S1,△BDE的面积为S2,那么x为何值时,S1=2S2. |
21. 难度:中等 | |
已知在△ABC中,∠C=90°,,,解这个直角三角形. |
22. 难度:中等 | |
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,点D在BC边上,∠ADC=45°,DC=6, 求∠BAD的正切值. |
23. 难度:中等 | |
如图1,一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定. (1)这里所运用的几何原理是( ) (A)三角形的稳定性(B)两点之间线段最短; (C)两点确定一条直线(D)垂线段最短; (2)图2是图1中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB=45°,∠OAB=30°,OA=60cm,求点B到OA边的距离.(≈1.7,结果精确到整数) |
24. 难度:中等 | |
如图,一盏路灯沿灯罩边缘射出的光线与地面BC交于点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,且BC=20米. (1)请用圆规和直尺画出路灯A到地面BC的距离AD;(不要求写出画法,但要保留作图痕迹) (2)求出路灯A离地面的高度AD.(精确到0.1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732). |
25. 难度:中等 | |
某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐篷的生产任务.根据要求,帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成(如图所示).已知等腰△ABE的底角∠AEB=θ,且tanθ=,矩形BCDE的边CD=2BC,这个横截面框架(包括BE)所用的钢管总长为15m,求帐篷的篷顶A到底部CD的距离.(结果精确到0.1m) |
26. 难度:中等 | |
如图,教室窗户的高度AF为2.5米,遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角∠BPC为30°,PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米,试求AD的长度.(结果带根号) |
27. 难度:中等 | |
如图1、2,图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题,如图2.已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm),设铁环中心为O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,∠MOA=α,且sinα=. (1)求点M离地面AC的高度BM(单位:厘米); (2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位,求铁环钩MF的长度(单位:厘 米). |
28. 难度:中等 | |
如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问:8秒后船向岸边移动了多少米?(结果精确到0.1米) |
29. 难度:中等 | |
如图所示,A、B为两个村庄,AB、BC、CD为公路,BD为田地,AD为河宽,且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆,共有如下两种铺设方案: 方案一:E⇒D⇒A⇒B; 方案二:E⇒C⇒B⇒A. 经测量得AB=4千米,BC=10千米,CE=6千米,∠BDC=45°,∠ABD=15度.已知:地下电缆的修建费为2万元/千米,水下电缆的修建费为4万元/千米. (1)求出河宽AD(结果保留根号); (2)求出公路CD的长; (3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明你的理由. |
30. 难度:中等 | |
如图1所示的是某立式家具(角书橱)的横断面,请你设计一个方案(角书橱高2m,房间高2.6m,所以不必从高度方面考虑方案的设计),按此方案,可使该家具能通过如图2中的长廊搬入房间.把你设计的方案画成草图,并说明按此方案可把家具搬入房间的理由.(注:搬运过程中不准拆家具,不准损坏墙壁) |