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如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转角...

如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△A1B1C1,连接BB1.设CB1交AB于D,AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外);
(2)当△BB1D是等腰三角形时,求α;
(3)当α=60°时,求BD的长.

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(1)依据全等三角形的判定,可找出全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等.由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD,A1C=BC,∠A1=∠CBD=45°,所以△CBD≌△CA1F. (2)当△BBD是等腰三角形时,要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况,第一,三种情况不成立,只有第二种情况成立,求得α=30°. (3)作DG⊥BC于G,在直角三角形CDG和直角三角形DGB中,由三角函数即可求得BD的长. 【解析】 (1)全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等; 以证△CBD≌△CA1F为例: 证明:∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90° ∴∠A1CF=∠BCD ∵A1C=BC ∴∠A1=∠CBD=45° ∴△CBD≌△CA1F; (2)在△CBB1中 ∵CB=CB1 ∴∠CBB1=∠CB1B=(180°-α) 又△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45° ①若B1B=B1D,则∠B1DB=∠B1BD ∵∠B1DB=45°+α ∠B1BD=∠CBB1-45°=(180°-α)-45°=45°- ∴45°+α=45°-, ∴α=0°(舍去); ②∵∠BB1C=∠B1BC>∠B1BD,∴BD>B1D,即BD≠B1D; ③若BB1=BD,则∠BDB1=∠BB1D,即45°+α=(180°-α),α=30° 由①②③可知,当△BB1D为等腰三角形时,α=30°; (3)作DG⊥BC于G,设CG=x. 在Rt△CDG中,∠DCG=α=60°, ∴DG=xtan60°=x Rt△DGB中,∠DBG=45°, ∴BG=GD=x, ∵AC=BC=1, ∴x+x=1 ∴x=, ∴DB=BG=x=×=.
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考点分析:
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1)求证:DC=BC;
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(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.

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如图所示,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=manfen5.com 满分网
求:(1)点B的坐标;(2)cos∠BAO的值.

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如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin∠C=manfen5.com 满分网,BC=12,求AD的长.

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附加题:由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得S△ABC=manfen5.com 满分网bc•sin∠A①,即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.
如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得manfen5.com 满分网AC•BC•sin(α+β)=manfen5.com 满分网AC•CD•sinα+manfen5.com 满分网BC•CD•sinβ,即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②
你能利用直角三角形边角关系,消去②中的AC、BC、CD吗?不能,说明理由;能,写出解决过程.

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已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC;
②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示),并给出证明.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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