1. 难度:中等 | |
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r. (1)若∠E=30°,求证:BC•BD=r•ED; (2)若BD=3,DE=4,求AE的长. |
2. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,∠BAC=90度.BM平分∠ABC交AC于M,以A为圆心,AM为半径作⊙A交BM于N,AN的延长线交BC于D,直线AB交⊙A于P,K两点,作MT⊥BC于T. (1)求证:AK=MT; (2)求证:AD⊥BC; (3)当AK=BD时,求证:. |
3. 难度:中等 | |
如图,某建筑工地上一钢管的横截面是圆环形.王师傅将直尺边缘紧靠内圆,直尺与外圆交于点A,B(AB与内圆相切于点C,其中点A在直尺的零刻度处).请观察图形,写出线段AB的长(精确到1cm),并根据得到的数据计算该钢管的横截面积.(结果用含π的式子表示) |
4. 难度:中等 | |
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线;A、B是切点;连接OA、OB、OP, (1)若∠AOP=60°,求∠OPB的度数; (2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点, ①若∠COP=∠DOP,求证:AC=BD; ②连接CD,设△PCD的周长为l,若l=2AP,判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图,⊙O和⊙O′都经过点A、B,点P在BA延长线上,过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点,作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E.若PC=4,CD=8,⊙O的半径为5. (1)求PE的长; (2)求△COD的面积. |
6. 难度:中等 | |
如图EB是⊙O的直径,A是BE的延长线上一点,过A作⊙O的切线AC,切点为D,过B作⊙O的切线BC,交AC于点C,若EB=BC=6,求:AD,AE的长. |
7. 难度:中等 | |
如图,A,B,C,D四点在⊙O上,AD,BC的延长线相交于点E,直径AD=10,OE=13,且∠EDC=∠ABC. (1)求证:; (2)计算CE•BE的值; (3)探究:BE的取值范围. |
8. 难度:中等 | |
在一个工件上有一梯形块ABCD,其中AD∥BC,∠BCD=90°,面积为21 cm2,周长为20 cm,若工人师傅要在其上加工一个以CD为直径的半圆槽,且圆槽刚好和AB边相切(如图所示),求此圆的半径长. |
9. 难度:中等 | |
如图,AB是⊙O的直径,CB、CE分别切⊙O于点B、D,CE与BA的延长线交于点E,连接OC、OD. (1)△OBC与△ODC是否全等?______(填“是”或“否”); (2)已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后,选用以上适当的数,设计出计算⊙O半径r的一种方案: ①你选用的已知数是______; ②写出求解过程.(结果用字母表示) |
10. 难度:中等 | |
如图,BC是⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,且弧CD=DE,连接EB、DO. (1)求证:EB∥DO; (2)连接EC,在∠CEB的外部作∠BEA=∠C,直线EA交CB的延长线于A,求证:直线EA是⊙O的切线; (3)若EA=2,AB=1,求⊙O的半径长. |
11. 难度:中等 | |
几何课本第三册复习题七中有这样一道几何题:以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆,交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.求证:这条切线平分另一条直角边BC.(不必证明) 现将上述习题改变成如下问题,请你解答: 如图,以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O,交斜边AB于点D,E为BC边的中点,连DE. (1)判断DE是否为⊙O的切线,并证明你的结论. (2)当AD:DB=9:16时,DE=8cm时,求⊙O的半径R. |
12. 难度:中等 | |
如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,PO与⊙O交于点C,且PA=AB=6cm,PO=12cm, (Ⅰ)求⊙O的半径; (Ⅱ)求△PBO的面积.(结果可带根号) |
13. 难度:中等 | |
阅读下面的材料: 如图(1),在以AB为直径的半圆O内有一点P,AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D. 求证:AP•AC+BP•BD=AB2. 证明:连接AD、BC,过P作PM⊥AB,则∠ADB=∠AMP=90°, ∴点D、M在以AP为直径的圆上;同理:M、C在以BP为直径的圆上. 由割线定理得:AP•AC=AM•AB,BP•BD=BM•BA, 所以,AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•(AM+BM)=AB2. 当点P在半圆周上时,也有AP•AC+BP•BD=AP2+BP2=AB2成立,那么: (1)如图(2)当点P在半圆周外时,结论AP•AC+BP•BD=AB2是否成立?为什么? (2)如图(3)当点P在切线BE外侧时,你能得到什么结论?将你得到的结论写出来. |
14. 难度:中等 | |
如图,已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点D,与AB相交于点E. (1)试判断AD是否平分∠BAC?并说明理由. (2)若BD=3BE,CD=3,求⊙O的半径. |
15. 难度:中等 | |
如图,已知:AB是定圆的直径,O是圆心,点C在⊙O的半径AO上运动,PC⊥AB交⊙O于E,交AB于C,PC=5.PT是⊙O的切线(T为切点). (1)当CE正好是⊙O的半径时,PT=3,求⊙O的半径; (2)当C点与A点重合时,求CT的长; (3)设PT2=y,AC=x,写出y关于x的函数关系式,并确定x的取值范围. |
16. 难度:中等 | |
如图.⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC. |
17. 难度:中等 | |
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°. (1)求大圆半径的长; (2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长. |
18. 难度:中等 | |
如图,PA是⊙O的切线,切点为A,割线PCB交⊙O于C、B两点,半径OD⊥BC,垂足为E,AD交PB于点F. (1)PA与PF是否相等?______(填“是”或“否”); (2)若F是PB的中点,CF=1.5,则切线PA的长为______. |
19. 难度:中等 | |
如图,⊙O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H,AH=2. (1)求DE的长; (2)延长ED到P,过P作⊙O的切线,切点为C,若PC=2,求PD的长. |
20. 难度:中等 | |
如图1,A为⊙O的弦EF上的一点,OB是和这条弦垂直的半径,垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D. (1)求证:DA=DC; (2)当DF:EF=1:8,且DF=时,求AB•AC的值; (3)将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外,如图2的位置,使EF与OB,延长线垂直,垂足为H,A为EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的半径,AB的延长线交⊙O于C,过C作⊙O的切线交EF于D.试猜想DA=DC是否仍然成立?并证明你的结论. |
21. 难度:中等 | |
如图,AC是⊙O的直径,BC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,连接DO,并延长交BC的延长线于点E.过D作⊙O的切线交BC于点F. (Ⅰ)求证:F是BC的中点; (Ⅱ)若BC=2,且S△DBF:S△DCE=3:2,求AD:DB的值. |
22. 难度:中等 | |
如图,有一块三角形材料(△ABC),请你画出一个圆,使其与△ABC的各边都相切. |
23. 难度:中等 | |
如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C. (1)求弦AB的长; (2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由; (3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长. |
24. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F. (1)求证:BF=CE; (2)若∠C=30°,CE=2,求AC. |
25. 难度:中等 | ||||||||||||||||||||||
为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F. (1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长,填入空格处,并计算出周长L和面积S.(结果精确到0.1厘米)
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26. 难度:中等 | |
阅读材料:如图(一),△ABC的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积. ∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA 又∵S△OAB=AB•r,S△OBC=BC•r,S△OCA=CA•r ∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r(可作为三角形内切圆半径公式) (1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径; (2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(二))且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半径公式; (3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1、a2、a3、…、an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由). |
27. 难度:中等 | |
某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛. (1)若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域(如图)内确定圆形花坛的圆心P; (2)若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积. |
28. 难度:中等 | |
如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0). (1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式; (2)问点A出发后多少秒两圆相切? |
29. 难度:中等 | |
张宇同学是一名天文爱好者,他通过查阅资料得知:地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆,且这两个同心圆在同一平面上(如图所示).由于地球和火星的运行速度不同,所以二者的位置不断发生变化.当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且太阳位于地球、火星中间时,称为“合”;当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且地球于太阳与火星中间时,称为“冲”.另外,从地球上看火星与太阳,当两条视线互相垂直时,分别称为“东方照”和“西方照”.已知地球距太阳15(千万千米),火星距太阳20.5(千万千米). (1)分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时,地球与火星的距离(结果保留准确值); (2)如果从地球上发射宇宙飞船登上火星,为了节省燃料,应选择在什么位置时发射较好,说明你的理由. (注:从地球上看火星,火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”.) |
30. 难度:中等 | |
已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1,O1O2=5,在线段O1O2的延长线上取一点O3,使O2O3=3,以O3为圆心,R=5为半径作圆. (1)如图1,⊙O3与线段O1O2相交于点P1,过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1(A1、B1为切点),连接O1A1、O2B1,求P1A1:P1B1的值; (2)如图2,若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2,又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2(A2、B2为切点),求P2A2:P2B2的值; (3)设在⊙O3上任取一点P,过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB(A、B为切点),由(1)(2)的探究,请提出一个正确命题.(不要求证明) |