已知⊙O
1和⊙O
2的半径都等于1,O
1O
2=5,在线段O
1O
2的延长线上取一点O
3,使O
2O
3=3,以O
3为圆心,R=5为半径作圆.
(1)如图1,⊙O
3与线段O
1O
2相交于点P
1,过点P
1分别作⊙O
1和⊙O
2的切线P
1A
1、P
1B
1(A
1、B
1为切点),连接O
1A
1、O
2B
1,求P
1A
1:P
1B
1的值;
(2)如图2,若过O
2作O
2P
2⊥O
1O
2交O
3于点P
2,又过点P
2分别作⊙O
1和⊙O
2的切线P
2A
2、P
2B
2(A
2、B
2为切点),求P
2A
2:P
2B
2的值;
(3)设在⊙O
3上任取一点P,过点P分别作⊙O
1和⊙O
2的切线PA、PB(A、B为切点),由(1)(2)的探究,请提出一个正确命题.(不要求证明)
考点分析:
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张宇同学是一名天文爱好者,他通过查阅资料得知:地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆,且这两个同心圆在同一平面上(如图所示).由于地球和火星的运行速度不同,所以二者的位置不断发生变化.当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且太阳位于地球、火星中间时,称为“合”;当地球、太阳和火星三者处在一条直线上,且地球于太阳与火星中间时,称为“冲”.另外,从地球上看火星与太阳,当两条视线互相垂直时,分别称为“东方照”和“西方照”.已知地球距太阳15(千万千米),火星距太阳20.5(千万千米).
(1)分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时,地球与火星的距离(结果保留准确值);
(2)如果从地球上发射宇宙飞船登上火星,为了节省燃料,应选择在什么位置时发射较好,说明你的理由.
(注:从地球上看火星,火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”.)
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如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
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某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛.
(1)若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域(如图)内确定圆形花坛的圆心P;
(2)若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积.
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阅读材料:如图(一),△ABC的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形,用S
△ABC表示△ABC的面积.
∵S
△ABC=S
△OAB+S
△OBC+S
△OCA又∵S
△OAB=
AB•r,S
△OBC=
BC•r,S
△OCA=
CA•r
∴S
△ABC=
AB•r+
BC•r+
CA•r=
l•r(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(二))且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a
1、a
2、a
3、…、a
n,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).
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为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F.
(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长,填入空格处,并计算出周长L和面积S.(结果精确到0.1厘米)
| AC | BC | AB | r | L | s |
图甲 | | | | 0.6 | | |
图乙 | | | 5.0 | 1.0 | | |
(2)观察图形,利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系,并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?
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