Question

如图，AC是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，连接DO，并延长交BC的延长线于点E．过D作⊙O的切线交BC于点F．
（Ⅰ）求证：F是BC的中点；
（Ⅱ）若BC=2，且S_△DBF：S_△DCE=3：2，求AD：DB的值．

Answer

（1）根据圆周角定理，得出CD⊥AC；根据切线长定理求得FD=FC，即∠FDC=∠FCD，由于等角的余角相等，可得出∠FDB=∠B，由此可证得FD=FB=FC；
（2）由于△DBF与△DCE等高，因此它们的面积比等于底边比，即BF：CE=3：2；由此可求得BF、FC、CE的长；由切割线定理，得：EH2=EH•ED，根据勾股定理可在Rt△FED中求得ED的长，由此可求出ED、DH的长，也就求出了AC的长，进而可求出AB的长；根据切割线定理即可求出BD、AD的长，由此得解．
（Ⅰ）证明：∵AC为⊙O的直径，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切线，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中点．

（Ⅱ）【解析】
∵S△DBF：S△DCE=3：2，
又∵△DBF边BF上的高与△DCE边CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F是BC中点，
∴BF=FC=1，∴CE=．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+=，
∴DE=，
设DE交⊙O于H，则
CE2=EH•ED，
∴（）2=EH；
∴EH=；
∴DH=-=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=；
∵BC切⊙O于C，∴BD•AB=BC2=4；
∴BD=AD=；
∴．

方法二：设=k，则可设AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC2=BD•BA，
∴（k+1）m2=4，
∴m=．
∴AC=，
∴OC=．
设DE交⊙O于H，EH=x，
由切割线定理，得
EC2=EH•ED，
即=x•（x+2）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽Rt△FDE．
∴，即=，x=；
代入（*）式，得
，∴
故AD：DB=1：4．