1. 难度:中等 | |
(2000•陕西)如图,在直角坐标系中,⊙A的半径为4,A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于B. (1)求直线BC的解析式; (2)若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点,且抛物线的顶点在直线上y=x+2上,求此抛物线的解析式; (3)试判断点C是否在抛物线上,并说明理由. |
2. 难度:中等 | |
(2000•内江)如图,在直角坐标系xoy中,以原点为圆心的⊙O的半径是,过A(0,4)作⊙O的切线交x轴于点B,T是切点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(3,-),且抛物线过A、B两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)如果此抛物线的对称轴交x轴于D点,问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△BCD∽△OPB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
3. 难度:中等 | |
(2000•兰州)如图,直线AB过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知点B的坐标是(1,1), (1)求直线AB和抛物线所表示的函数解析式; (2)如果在第一象限,抛物线上有一点D,使得S△OAD=S△OBC,求这时D点坐标. |
4. 难度:中等 | |
(2000•荆门)如图在直角坐标系xOy中,A、B是x轴上两点,以AB为直径的圆与y轴交于点C,设A、B、C的抛物线的解析式为y=且方程=0的两根的倒数和为. (1)求n的值; (2)求m的值和A、B、C三点的坐标; (3)点P、Q分别从A、O两点同时出发,以相同的速度沿AB、OC向B、C运动,连接PQ并延长,与BC交于点M,设AP=k,问是否存在这样的k值,使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
(2000•嘉兴)在平面直角坐标系的x轴上有两点A(x1,0),B(x2,0),在y轴上有一点C,已知x1,x2是方程x2-m2x-5=0的两根,且x12+x22=26,△ABC面积是9. (1)A,B,C三点的坐标; (2)求图象过A,B,C三点的二次函数的解析式. |
6. 难度:中等 | |
(2000•湖州)已知a,b,c是正实数,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于M,N两点,交y轴于点P,其中点M的坐标为(a+c,0). (1)求证:b2+c2=a2; (2)若△NMP的面积是△NOP的面积的3倍,求的值. |
7. 难度:中等 | |
(2000•杭州)已知二次函数y=x2-2mx+m2-m-2的图象的顶点为C,图象与x轴有两个不同的交点A、B,其坐标为A(x,0)、B(4,0),且△ABC的面积为8. (1)求二次函数的解析式; (2)在此二次函数的图象上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标,并求出以这些点为顶点的多边形的外接圆的半径. |
8. 难度:中等 | |
(2000•海淀区)已知:抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线的顶点. (1)用配方法求顶点C的坐标(用含m的代数式表示); (2)“若AB的长为,求抛物线的解析式.”解法的部分步骤如下,补全解题过程,并简述步骤①的解题依据,步骤②的解题方法; 【解析】 由(1)知,对称轴与x轴交于点D(______,0) ∵抛物线的对称性及, ∴AD=DB=. ∵点A(xA,0)在抛物线y=(x-h)2+k上, ∴0=(xA-h)2+k① ∵h=xC=xD,将代入上式,得到关于m的方程② (3)将(2)中的条件“AB的长为”改为“△ABC为等边三角形”,用类似的方法求出此抛物线的解析式. |
9. 难度:中等 | |
(2000•甘肃)已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M,N两点(点N在点M的右侧),并且M和N两点的横坐标分别是方程x2-2x-3=0的两根,点K是抛物线与y轴的交点,∠MKN不小于90度. (1)求点M和N的坐标; (2)求系数a的取值范围; (3)当y取得最大值时,抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
(2000•福建)已知抛物线y=x2+px+q与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)(B在A的右边),又抛物线与y轴相交于C点,且满足 (1)求证:4p+5q=0; (2)问是否存在一个圆O',使它经过A、B两点,且与y轴相切于C点?若存在,试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标;若不存在,请说明理由. |
11. 难度:中等 | |
(2000•东城区)如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-3,0)、(0,3). (1)一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧,且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3,若△PAB与△QAB的面积都等于3,求这个一次函数的解析式; (2)二次函数的图象经过点A、B,其顶点C在x轴的上方且在直线PQ上,求这个二次函数的解析式; (3)若使(2)中所确定的抛物线的开口方向不变,顶点C在直线PQ上运动,当点C运动到点C′时,抛物线在x轴上截得的线段长为6,求点C′的坐标. |
12. 难度:中等 | |
(2000•朝阳区)已知:m是非负数,抛物线y=x2-2(m+1)x-(m+3)的顶点Q在直线y=-2x-2上,且和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧). (1)求A、B、Q三点的坐标. (2)如果点P的坐标为(1,1).求证:PA和直线y=-2x-2垂直. (3)点M(x,1)在抛物线上,判断∠AMB和∠BAQ的大小关系,并说明理由. |
13. 难度:中等 | |
(2000•嘉兴)如图,等腰直角三角形ABC的腰长是2,∠ABC=Rt∠,以AB为直径作半圆O,M是BC上一动点(不运动至点B、C,过点M引半圆O的切线,切点是P.过点A作AB的垂线AN,交切线MP于点N,AC与ON,MN分别交于点E,F,设BM=x,. (1)证明:∠MON是直角; (2)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;当∠CMF=120°时,求y的值; (3)当F、M、C为顶点的三角形与△AEO相似时,求∠CMF的度数. |
14. 难度:中等 | |
(2000•宁波)如图,过⊙O外一点A向⊙O引割线AEB,ADC,DF∥BC,交AB于F.若CE过圆心O,D是AC中点. (1)求证:DF是⊙O的切线; (2)若FE,FB的长是方程x2-mx+b2=0(b>0)的两个根,且△DEF与△CBE相似. ①试用m的代数式表示b; ②代数式的值达到最小时,求BC的长. |
15. 难度:中等 | |
(2000•广西)把一张宽AD=2的矩形纸片ABCD如图那样折叠,使每次折叠后,点A都落在CD边上.如图,将矩形纸片放在平面直角坐标系中,使AD边落在y轴上,AD的中点与原点O重合.设某次折叠A的落点为A',折痕线为EF,EF交x轴于点G.过点A'作x轴的垂线,交x轴于点H,交EF于点T. (1)请试作两次你认为最适当的折叠,并写出各次所得到的点T的坐标; (2)设DA′=x,点T的纵坐标为y,求y与x之间的函数关系式; (3)求点T(,m)到点A的距离TA,并证明T(,m)到CD的距离等于TA的长. |