Question

（2000•荆门）如图在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上两点，以AB为直径的圆与y轴交于点C，设A、B、C的抛物线的解析式为y=且方程=0的两根的倒数和为．
（1）求n的值；
（2）求m的值和A、B、C三点的坐标；
（3）点P、Q分别从A、O两点同时出发，以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连接PQ并延长，与BC交于点M，设AP=k，问是否存在这样的k值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式可知：C点坐标应为（0，n），那么OC=-n；由于AB是⊙O的直径，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，根据射影定理即可得到关于n的方程，由此可求出n的值；
（2）设出A、B的坐标，根据根与系数的关系及已知方程的两根的倒数和即可求出m的值，进而可求出A、B的坐标；而C的坐标在（1）中已经求得；
（3）所求的两个三角形中，已知的相等角有：∠PBM=∠ABC，若两个三角形相似只有两种可能：
①∠BPM=∠BAC，此时PM∥AC，可根据相似三角形得到的比例线段求出k的值；
②∠BPM=∠BCA，在（1）中已经证得∠BCA=90°，所以无论P、Q在何位置，这两个三角形都不相似．
【解析】
（1）设A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，则OA=-x1，OB=x2，OC=-n．
∵AB是直径，OC⊥AB，∴OC2=OA•OB，即n2=-x1x2；
又x1x2=6n，∴n2=-6n，∴n1=-6，n2=0（舍去），∴n的值为-6；

（2）∵=，
x1+x2=6m，x1x2=-6n，
∴，∴
故抛物线的解析式为y=；
A、B、C的坐标为A（-9，0）、B（4，0）、C（0，-6）；

（3）如图（见原题）所示，当∠BPM=∠BAC，或当∠BPM=∠BCA时，以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似；
当∠BPM=∠BAC时，PM∥AC；此时，∴，k=3.6．
∵∠ACB=90°
而∠BPM＜∠AOC=90°，∴无论P、Q在何位置，都有∠BPM≠∠BCA；
故只有当k=3.6时，△PBM∽△ABC．