Question

（2000•福建）已知抛物线y=x²+px+q与x轴相交于不同的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（B在A的右边），又抛物线与y轴相交于C点，且满足
（1）求证：4p+5q=0；
（2）问是否存在一个圆O'，使它经过A、B两点，且与y轴相切于C点？若存在，试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于A、B是抛物线与x轴的两个交点，根据韦达定理即可表示出x1+x2以及x1x2的表达式，可将已知的x1、x2的倒数和变形为x1+x2及x1x2的形式，然后代值计算，即可证得所求的结论．
（2）假设存在符合条件的⊙O′，那么这个圆必同时经过A、B、C三点，根据切割线定理即可求得q的值，进而可确定抛物线的解析式和A、B、C的坐标．
①当A、B在原点的同一侧时，由于⊙O′同时经过A、B，则圆心O′必在抛物线的对称轴上，由此可确定点O′的横坐标，而⊙O′与y轴相切于C点，那么O′、C的纵坐标相同，即可得到所求的O′坐标；
②当A、B分别位于原点两侧时，此时⊙O′与y轴相交，因此不存在符合条件的O′．
（1）证明：由已知，∵x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴（3分）
又∵，
即=
∴，
∴4p+5q=0．（4分）

（2）答：存在满足条件的⊙O'．其理由如下：
设⊙O'满足条件，则OC是⊙O'的切线，由切割线定理知OC2=OA•OB=|x1x2|．（5分）
又∵抛物线y=x2+px+q与y轴交于C点，
∴点C的坐标为（0，q），
∴OC=|q|．
∴q2=|2q|，
即q2=±2q．
解得q1=0，q2=2，q3=-2．（6分）
①当q=0时，x1•x2=0不满足题设条件．（7分）
②当q=2时，p=-，此时抛物线方程y=x2-x+2．（8分）
∴点C的坐标为（0，2），抛物线的对称轴为x=．（9分）
∵圆心O'在AB的垂直平分线上，O'C⊥y轴，
∴圆心O′的坐标为（，2）；（10分）
③当q=-2时，p=，
此时抛物线为y=x2+x-2，
∵x1•x2=-4＜0，
∴A、B在y轴的两侧．
故过A、B的圆必与y轴相交，不可能相切，
因此q=-2时也不满足题设条件．
综上所述，满足条件的⊙O′是存在的，它的圆心坐标为O′（，2），
此时抛物线的解析式为：y=x2-x+2．（12分）