已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ．（1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若  ， ，求证：λ1+λ2为定值． |
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已知椭圆Ω的离心率为 ，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合．（1）求椭圆Ω的方程； （2）若椭圆  上过点（x，y）的切线方程为 ．①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C； ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由． |
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已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求  的取值范围． |
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已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k1，k2且 ．（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足  ，证明直线l过定点，并求出这个定点． |
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已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的 倍，且椭圆C经过点M ．（1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：  上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证： 为定值． |
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设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆 ，（a＞b＞0）上的两点，已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），且 ，若椭圆的离心率 ，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． |
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椭圆的两焦点坐标分别为 和 ，且椭圆过点 ．（1）求椭圆方程； （2）过点  作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． |
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已知直线l：y=x+ ，圆O：x2+y2=5，椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． |
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椭圆 的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为 ．
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已知F1、F2分别为双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
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