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如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2+2  ，求⊙O的半径r．
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如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为 的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．（1）画出旋转后的Rt△ADE； （2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度； （3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由． 
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如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．（1）求证：DM=  r；（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线； （3）设y=CD2+3CM2，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式． 
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观察思考： 某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．  解决问题： （1）点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米； （2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是______分米； ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． |
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如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（-2，0）． （1）求线段AD所在直线的函数表达式； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切． 
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如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=  ，求EF的长．
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如图所示，AB是⊙O的直径，D是圆上一点， = ，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN．（1）证明：MN是⊙O的切线； （2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长． 
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如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD． （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如果∠BDE=60°，PD=  ，求PA的长．
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已知“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB=30°，OB=4，BC=6． ﹙1﹚求证：AD为小⊙O的切线； ﹙2﹚求DH的长．﹙结果保留根号﹚ 
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如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧 的中点．（1）求证：四边形AOBD是菱形； （2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线． 
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