图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．  （1）求  的值；（2）求MB、NB的长； （3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离． |
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如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形． （1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形． 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形； 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形； （2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明； （3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？ 
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在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题： 点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？ 经过思考，甲同学给出如下画法： 如图1，过点P画PE⊥AB于E，在EB上取点M，使EM=2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l． 根据以上信息，解决下列问题： （1）甲同学的画法是否正确？请说明理由； （2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出； （3）如图2，A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A1C1∥AD．当点P在线段A1C1上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？ （4）如图3，正方形ABCD边界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在边的三等分点．当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况．  |
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如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则 =______
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如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE； （2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值． 
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已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示  的值；（2）在（1）的条件下，当  时，求BP的长．
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如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F． （1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比； （2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比； （3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）； （4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题   |
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题： （1）按要求填表：
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm•xn=xp•xq，试判断m，n，p，q的关系． 
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如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上． （1）用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明．另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）； （2）若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的边长． 
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如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q． （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的  ；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形． 
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