已知：△ABC是任意三角形． （1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A． （2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且  ， ，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且  ， ，点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=______．（请直接将该小问的答案写在横线上） |
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（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE． （2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由． 
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如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？ （3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．  |
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AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合． （1）求证：△AHD∽△CBD； （2）连HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值． 
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在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上的动点． （1）当OA=  AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有______；（2）当OA满足  AC＜OA＜AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）．①请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母），并加以证明； ②若⊙O的半径为5，AD=8，求tanB． 
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如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．
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已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度． （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长； （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．  |
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如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形，顶点F在BA的延长线上，边DG与AF交于点H，AD=4，DH=5，EF=6，求FG的长．
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已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是△ACQ的外心； （2）若  ，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ）2=FP•FG． 
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如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC． （1）求点B的坐标； （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，  ？
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