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如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连接EF、DF． （1）求证：△AEF∽△FED； （2）若AD=6，DE=3，求EF的长； （3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 
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如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G． （1）求证：AE•BE=EF•EG； （2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长． 
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 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到  的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长． |
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如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．
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如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长． 
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如图，BE是△ABC的外接⊙O的直径，CD是△ABC的高． （1）求证：  ；（2）已知：AB=11，AD=3，CD=6，求⊙O的直径BE的长． 
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如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在 上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．求证： （1）∠DFC=∠DOB； （2）MN•OM=MC•FM． 
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如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD． （1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明． 
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如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H． （1）求证：AH•AB=AC2； （2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF=AC2； （3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ=AC2是否成立．（不必证明） 
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已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2 cm．AD：DB=4：1，求AD的长．
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