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如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点． （1）求证：四边形AECG是平行四边形； （2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长． 
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如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB； （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由； （3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？ 
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如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB． （1）求证：EF∥BD； （2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长． 
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如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE； 第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF． 则AD：AB的值是______ 
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如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC，M为OB的中点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O′处，连接OO′，过O′点作O′N⊥OB于N． （1）写出点A、B、C的坐标； （2）判断△AOM与△ONO′是否相似，若是，请给出证明； （3）求O′点的坐标． 
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如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G． （1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论； （2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？ 
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在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标． （温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．） |
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阅读下列材料： 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形． 数学老师给小明同学出了一道题目：在图1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB=AC=  ，BC= ；小明同学的做法是：由勾股定理，得AB=AC=  ，BC= ，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．（1）请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A′B′C′（A′点位置如图所示），使A′B′=A′C′=5，B′C′=  ．（直接画出图形，不写过程）；（2）观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．  |
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如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE； （2）若AB=8，AC=6，AD=5，求直径AE的长．（证明△ABE∽△ADC） 
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如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C． （1）在图中作出△ABC的内角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 
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