Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱A₁A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（1）求证：平面A₁ACC₁丄平面B₁BDD₁
（2）求四棱锥A-CDD₁C₁的体积．

Answer

（1）先证明BD⊥AC，然后证明BD⊥平面A1ACC1．即可证明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（2）过点A作AH⊥DD1，交DD1于点H．证明CD⊥平面A1ADD1，判断四边形CDD1C1为直角梯形，然后求出四棱锥A-CDD1C1的体积．
【解析】
（1）∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，即BD⊥AA1，
又底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA1=A，AC⊂平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，
∴BD⊥平面A1ACC1．而BD⊂平面B1BDC1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（2）过点A作AH⊥DD1，交DD1于点H．
∵AA1⊥平面ABCD，∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又平面CDD1C1∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A1ADD1，∵平面CDD1C1∩平面A1ADD1=DD1．
∴AH⊥平面CDD1C1．在直角梯形A1ADD1中，A1D1=1，D1D=2．AD=2．
∴AH=．∵CD⊥平面A1ADD1．CD⊥DD1．∴四边形CDD1C1为直角梯形，
∵C1D1=1．CD=D1D=2．∴四边形CDD1C1的面积S=3．
∴四棱锥A-CDD1C1的体积．