Question

为了了解某校高三文科学生在皖南八校第二次联考的数学成绩，从全校400名文科学生成绩中抽取了 40名学生的成绩，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）．已知第一组与第六组的频数和为6，并且从左到右各长方形髙的比为 m：3：5：6：3：1．
（1）求m的值；
（2）估计该校文科学生成绩在120分以上的学生人数；
（3）从样本中成绩在第一组和第六组的所有学生成绩中任取两人成绩，求两人成绩之差大于50的概率．

Answer

（1）根据从左到右各长方形髙的比为 m：3：5：6：3：1，得到第一、六两组的频率之和为，再根据第一组与第六组的频数和为6，得到第一、六两组的频率之和为，从而列出关于m的方程，求得m的值；
（2）根据此样本文科学生成绩在120分以上的频率为0.2，结合用样本来估计总体的理论，可得该校文科学生成绩在120分以上的学生人数约为80人；
（3）首先根据频率公式，计算出第一、六两组的频数分别为4和2，然后找出从这六人成绩取2人成绩的所有基本事件总数，以及使得人成绩之差大于50的基本事件个数，利用等可能性事件的概率公式，可以计算出两人成绩之差大于50的概率．
【解析】
（1）由题意，得，解之得m=2；
（2）由（1）得m=2，则分数在120分以上的人数为=80人；
（3）∵学生成绩在第一组的人数为=4人，
∴成绩在第六组的人数是2人
设第一组四人的成绩分别为a、b、c、d，第六组二人的成绩分别为x、y，
可得从中任取两人的成绩构成的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），
（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）共15个，
两人成绩之差大于50的基本事件有（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），
（d，y）共8个．
所以两人成绩之差大于50的概率为：P=．