Question

关于函数f（x）=sin²x-+，有下面五个结论：
①f（x）是奇函数；
②当x＞2012时，f（x）＞恒成立；
③f（x）的最大值是；
④f（x）的最小值是-；
⑤f（x）在[0，]上单调递增．
其中正确结论的序号为     （写出所有正确结论的序号）．

Answer

根据题意：依次分析命题：①运用f（-x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x=进行转化，然后利用cos2x和（ ）|x|，求函数f（x）的最值，⑤f（x）=1-cos2x-（）|x|，中，-cos2x，-在[0，]分别递增，故函数f（x）在[0，]单调递增，综合可得答案．
【解析】
∵f（x）=sin2x-+，定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
②对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2012，sin21000π=0，且＞0
∴f（1000π）=，因此结论②错．
③又f（x）=-=1-cos2x-（）|x|，
∵-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（）|x|＞0
故1-cos2x-（）|x|＜，即结论③错．
④而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（）|x|在x=0时可取得最小值-，即结论④是正确的．
⑤由于f（x）=-=1-cos2x-（）|x|，中，-cos2x，-在[0，]分别递增，故函数f（x）在[0，]单调递增，故⑤正确
故答案为：④⑤