Question

如图所示，河道宽L=200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u=0．2x（x是离河岸的距离，0≤x≤）．一小船在静水中的速度v=10m/s，自A处出发，船头垂直河岸方向渡河到达对岸B处．设船的运动方向与水流方向夹角为θ，下列说法正确的是（  ）

A．小船渡河时间大于20s

B．AB两点间距离为

C．到达河中央前小船加速度大小为0．2 m/s²

D．在河中央时θ最小，且tanθ=0．5

Answer

BD

【解析】

试题分析：当船头垂直河岸方向渡河时，渡河的时间有最小值为（河宽除以船速）：，故A错误．因为水的流速大小满足u=0．2x（x是离河岸的距离，0≤x≤），易得水流速的平均速度等于处的水流速．则有：u=0．2× =10m/s．所以沿河岸方向上的位移为：x=ut=200m．所以AB的直线距离为：，故B正确；船在静水中速度是不变，而水流速度满足u=0．2x（x是离河岸的距离，0≤x≤），因x=vt，其中v=10m/s,那么u=2t，因此到达河中央前小船加速度大小为2 m/s2，故C错误；当到达中央时，水流速度为u=0．2x=0．2×100=20m/s，由三角知识，则，故D正确； 所以BD正确．

考点：运动的合成和分解

【名师点睛】本题是小船过河问题，主要考查运动的合成和分解，将船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的最小时间．又因水流速与到河岸的最短距离x成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于d/4处的水流速．根据平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，从而求出AB的直线距离，最后根据水流速度与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小值．