Question

小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的5倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行。已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为

A.     B.

C.     D.

Answer

A

【解析】试题分析：设登月器和航天飞机在半径为3R的轨道上运行时的周期为T，

由牛顿第二定律有：其中 r=3R 解得：

在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力:解得：GM=gR2

所以，设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T2．

对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：，解得，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足:t=nT2﹣T1（其中，n=1、2、3、…）…由以上可得：（其中，n=1、2、3、…），

当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t=4．7π，故选A．所以选A正确。

考点：万有引力定律及其应用、开普勒第三定律

【名师点睛】此题考查了万有引力定律在航天问题中的应用问题；关键是首先知道卫星做圆周运动的向心力由万有引力来提供，即牢记，知道线速度、周期与轨道半径的关系，知道轨道半径越大，线速度越小，周期越大．应用开普勒第三定律求出椭圆轨道的周期，再结合周期间的关系即可解题。