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如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=...

如图,在四棱锥PABCD中,APABAD两两垂直,BCAD,且APABAD4BC2.

1)求二面角P-CD-A的余弦值;

2)已知H为线段PC上异于C的点,且DCDH,求的值.

 

(1)(2)=. 【解析】 (1)先根据题意建立空间直角坐标系,分别求得平面PCD的一个法向量,平面ACD的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解. (2)由题意设=λ=(4λ,2λ,-4λ),所以=+=(4λ,2λ-4,4-4λ),又因为DC=DH,再根据求解. (1)根据题意,以为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4). 所以=(0,-4,4),=(4,-2,0). 设平面PCD的法向量为=(x,y,z), 则即令x=1, 则y=2,z=2.所以平面PCD的一个法向量为=(1,2,2) 平面ACD的一个法向量为=(0,0,1), 所以cos〈,〉==, 且由图可知二面角为锐二面角, 所以二面角P-CD-A的余弦值为 (2) 由题意可知=(4,2,-4),=(4,-2,0), 设=λ=(4λ,2λ,-4λ), 则=+=(4λ,2λ-4,4-4λ), 因为DC=DH,所以=, 化简得3λ2-4λ+1=0, 所以λ=1或λ=. 又因为点H异于点C, 所以λ=, 即=.
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如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD90°ADAP4ABBC2MPC的中点.

1)求异面直线APBM所成角的余弦值;

2)点N在线段AD上,且ANλ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.

 

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如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQλBB1(λ≠0)

1)若λ,求APAQ所成角的余弦值;

2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.

 

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(1)求异面直线EFAD所成角的余弦值;

(2)点M在线段A1D上, .若CM∥平面AEF,求实数λ的值.

 

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在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB1AA12EFG分别是棱AA1ACA1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

1)求异面直线ACBE所成角的余弦值;

2)求二面角F-BC1-C的余弦值.

 

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如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABACAB2AC4AA12λ.

1)若λ1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;

2)若二面角B1- A1C1-D的大小为60°,求实数λ的值.

 

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