Question

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

Answer

（1）.（2）1

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.

（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.

又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．

分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．

所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，

所以cos〈，〉＝

＝＝，

所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.

（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，

则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．

设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，

则即

令x＝2，解得y＝0，z＝1，

所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，

所以|cos〈，〉|＝＝＝，

解得λ＝1∈[0，4]，

所以λ的值为1.