Question

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知AB＝1，AA₁＝2，E，F，G分别是棱AA₁，AC和A₁C₁的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角F-BC_1-C的余弦值．

Answer

（1）.（2）.

【解析】

（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

规范解答 （1） 因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，

所以＝(－1，0，0)，＝

记异面直线AC和BE所成角为α，

则cosα＝|cos〈〉|＝＝，

所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.

（2） 设平面BFC1的法向量为= (x1，y1，z1)．

因为＝，＝，

则

取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．

设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．

因为＝，＝(0，0，2)，

则

取x2＝ 得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，

所以cos〈〉＝ =

根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，

所以二面角F-BC1-C的余弦值为.