Question

如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.

（1）求的值；

（2）求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer

（1）（2）－

.

【解析】

（1）先根据题中空间直角坐标系，设出相应点的坐标，得到＝，＝，表示出cos〈，〉，再利用条件cos〈，〉＝－求解.

（2）根据（1）的结论，分别求得平面BVC一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）由空间直角坐标系Oxyz，

可得B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E，

所以＝，＝，

故cos〈，〉＝.

又cos〈，〉＝－，

则＝－，

解得＝

（2）由＝，

得＝，＝，

＝(2a，0，0)，＝(0，2a，0)．

设平面BVC的法向量为＝(x1，y1，z1)，

则即

则

取y1＝3，z1＝2，则＝(0，3，2)．

同理可得平面DVC的一个法向量为＝(－3，0，2)．

cos〈，〉＝＝＝，

结合图形，可以知道二面角B-VC-D的余弦值为－.