Question

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E＝CF＝1.

（1）求两条异面直线AC₁与BE所成角的余弦值；

（2）求直线BB₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

Answer

（1）.（2）.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）先求得平面BED1F的一个法向量，易知向量的坐标，再利用线面角的向量方法求解.

（1）以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，

则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，

B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．

所以cos〈〉＝＝＝，

故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.

（2） B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．

设平面BED1F的一个法向量为n＝(x,y,z)，

由得

所以则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，

设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则

sinα＝|cos〈，n〉|＝＝.

所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.