Question

如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.

（1）求直线AD与CE所成角；

（2）求二面角O-CE-B的余弦值．

Answer

（1）60°（2 ）

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）易知平面BCE的一个法向量为＝(0，1，0)，再求得平面OCE的一个法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，

则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为AC＝BC＝BE＝2，

则C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)

所以 ＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)

所以cos〈，〉＝ ＝＝.

所以直线AD和CE的夹角为60°.

（2） 易知平面BCE的一个法向量为＝(0，1，0)，

设平面OCE的法向量＝(x0，y0，z0)．

由＝(1，1，0)，＝(2，0，2)且⊥，⊥，

得则

解得

取x0＝－1，则＝(－1，1，1)．

因为二面角O-CE-B为锐二面角，记为θ，

则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝.