Question

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA₁＝2，＝λ.

（1）若λ＝1，求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

（2）若二面角B_1- A₁C₁-D的大小为60°，求实数λ的值．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量的坐标和平面A1C1D的一个法向量，再利用线面角的向量方法求解.

（2设D(x，y，0)，根据＝λ，得到D(，，0)，表示＝(0，4，0)，＝(，，－2)，求得平面A1C1D的一个法向量，又易知平面A1B1C1的一个法向量，再根据二面角B1- A1C1-D的大小为60°，由|cos〈n1，n2〉|＝求解.

（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)．

当λ＝1时，D为BC的中点，

所以D(1，2，0)，＝(1，－2，2)，＝(0，4，0)，＝(1，2，－2)，

设平面A1C1D的法向量为n1＝(x,y,z)，

则得

所以取n1＝(2，0，1)，

又cos〈，n1〉＝＝＝，

所以DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为

（2）因为＝λ，

设D(x，y，0)，所以＝(x－2，y，0)，＝(－x，4－y，0)，

所以x－2＝－λx，y＝λ(4－y)，

即x＝，y＝.

所以D(，，0)，

所以＝(0，4，0)，＝(，，－2)，

设平面A1C1D的法向量为n1＝(x,y,z)，

则即

所以取n1＝(λ＋1，0，1)．

又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0，0，1)，

由题意得|cos〈n1，n2〉|＝，

所以＝＝，

解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)，

所以实数λ的值为－1