Question

如图，在棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，P为棱C₁D₁的中点，Q为棱BB₁上的点，且BQ＝λBB₁(λ≠0)．

（1）若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；

（2）若直线AA₁与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

Answer

（1）.（2）λ＝.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）由BQ＝λBB1，表示＝(2，0，2λ) ，从而得到平面APQ的一个法向量＝(2λ，2－λ，－2)，再根据直线AA1与平面APQ所成角为45°，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.

（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.

因为＝(1，2，2)，＝(2，0，1)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

所以AP与AQ所成角的余弦值为.

（2） 由题意可知，＝(0，0，2)，＝(2，0，2λ)．

设平面APQ的法向量为＝(x,y,z)，

则即

令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.

所以＝(2λ，2－λ，－2)．

又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，

所以|cos〈，〉|＝

＝＝，

可得5λ2－4λ＝0，

又因为λ≠0，所以λ＝