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如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=...

如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1AAB=2,∠ABCEF分别是BCA1C的中点.

(1)求异面直线EFAD所成角的余弦值;

(2)点M在线段A1D上, .若CM∥平面AEF,求实数λ的值.

 

(1).(2). 【解析】 试题(1)由四棱柱,证得,进而得到,以为正交基底建立空间直角坐标系,利用向量坐标运算,即可求解所成角的余弦值; (2)设,由点在线段上,得到,得出向量则坐标表示,再求得平面的一个法向量,利用向量的数量积的运算,即可得到的值。 试题解析: 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD. 又AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD. 在菱形ABCD中∠ABC=,则△ABC是等边三角形. 因为E是BC中点,所以BC⊥AE. 因为BC∥AD,所以AE⊥AD. 以{,, }为正交基底建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),E(,0,0),F(,,1). (1)=(0,2,0),=(-,,1),所以·=1. 从而cos<,>==. 故异面直线EF,AD所成角的余弦值为. (2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且=λ, 则=λ,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2). 则M(0,2λ,2-2λ),=(-,2λ-1,2-2λ). 设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0). 因为=(,0,0),=(,,1), 由n·=0,n·=0,得x0=0, y0+z0=0. 取y0=2,则z0=-1, 则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1). 由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.  
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考点分析:
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在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB1AA12EFG分别是棱AA1ACA1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

1)求异面直线ACBE所成角的余弦值;

2)求二面角F-BC1-C的余弦值.

 

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如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABACAB2AC4AA12λ.

1)若λ1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;

2)若二面角B1- A1C1-D的大小为60°,求实数λ的值.

 

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如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC = 3BC = 4AB = 5AA1= 4

1)设,异面直线AC1CD所成角的余弦值为,求的值;

2)若点DAB的中点,求二面角D—CB1—B的余弦值.

 

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如图,ACBCOAB中点,且DC⊥平面ABCDCBE.已知ACBCDCBE2.

1)求直线ADCE所成角;

2)求二面角O-CE-B的余弦值.

 

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如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的边长AB3,侧棱AA12E是棱CC1的中点,点F满足2.

1)求异面直线FEDB1所成角的余弦值;

2)记二面角E-B1F-A的大小为θ,求|cosθ|.

 

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