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定义在R上的函数f(x)=|x2﹣ax|(a∈R),设g(x)=f(x+l)﹣f...

定义在R上的函数fx)=|x2ax|aR),设gx)=fx+l)﹣fx.

1)若ygx)为奇函数,求a的值:

2)设hxx∈(0+∞

①若a≤0,证明:hx)>2

②若hx)的最小值为﹣1,求a的取值范围.

 

(1)a=1(2)①证明见解析②(1,+∞) 【解析】 (1)根据函数是定义在上的奇函数,令,即可求出的值; (2)①先去绝对值,再把分离常数即可证明; ②根据的最小值为,分和两种情况讨论即可得出的取值范围. (1)∵g(x)=|(x+1)2﹣a(x+1)|﹣|x2﹣ax|, 一方面,由g(0)=0,得|1﹣a|=0,a=1, 另一方面,当a=1时,g(x)=|(x+1)2﹣a(x+1)|﹣|x2﹣x|=|x2+x|﹣|x2﹣x|, 所以,g(﹣x)=|x2﹣x|﹣|x2+x|=﹣g(x),即g(x)是奇函数. 综上可知a=1. (2)(i)∵a≤0,x>0,x+1>0, 所以h(x) 2, ∵1﹣a>0,x>0, ∴h(x)>2. (ii)由(i)知,a>0, 情形1:a∈(0,1],此时 当x∈(a,+∞)时,有2, 当x∈(0,a]时,有h(x), 由上可知此时h(x)>0不合题意. 情形2:a∈(1,+∞)时, 当x∈(0,a﹣1)时,有h(x), 当x∈[a﹣1,a)时,有h(x) 当x∈[a,+∞)时,有h(x), 从而可知此时h(x)的最小值是﹣1, 综上所述,所求a的取值范围为(1,+∞).
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