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已知数列{an}中,a1=1且an﹣an﹣1=3×()n﹣2(n≥2,n∈N*)...

已知数列{an}中,a11anan1n2n≥2nN*.

1)求数列{an}的通项公式:

2)若对任意的nN*,不等式1≤man≤5恒成立,求实数m的取值范围.

 

(1)an=3﹣2×()n﹣1(2){m|1≤m} 【解析】 (1)由已知,根据递推公式可得,,……,,所有式子累加可得; (2)在(1)得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围. (1)由已知,根据递推公式可得an﹣an﹣1=3×()n﹣2,an﹣1﹣an﹣2=3×()n﹣3,…,a2﹣a1=3×()0, 由累加法得,当n≥2时,an﹣a1=3×()0+3×()1+…+3×()n﹣2, 代入a1=1得,n≥2时,an=11+2×(1﹣()n﹣1), 又a1=1也满足上式,故an=3﹣2×()n﹣1. (2)由1≤man≤5,得1≤man=m(3﹣2()n﹣1)≤5. 因为3﹣2()n﹣1>0, 所以, 当n为奇数时,3﹣2()n﹣1∈[1,3); 当n为偶数时,3﹣2()n﹣1∈(3,4], 所以3﹣2()n﹣1最大值为4,最小值为1. 对于任意的正整数n都有成立, 所以1≤m. 即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.
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考点分析:
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