Question

已知函数．

证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；

若函数的极值为1，试证明：．

Answer

（1）见证明；（2）见证明

【解析】

根据导数和函数的极值的关系即可证明，

证明，只要证，令，利用导数和函数的最值得关系，和函数零点的存在定理，以及利用反证法即可证明．

，，

，

令得，得，

在上单调递增，在上单调递减，

有唯一的极值点，极值点为，

由可得，，

要证明，只要证，

令，

，易知在上单调递增，

且当时，，当时，，

存在唯一的实数，使得，即，

即，，

在单调递减，在单调递增，

，

下面证明，

利用反证法，假设，，

即，

即，，

则由可知，

这与矛盾，

，

即，

故．