Question

抛物线Q：，焦点为F．

若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值；

过F的两条直线，，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N分别是线段AB、CD的中点，若，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标．

Answer

(1) 4(2)见证明

【解析】

根据抛物线定义知，将转化为P到准线的距离；

通过联立方程组解得M、N两点的坐标，可求得MN的方程，再利用求得MN过定点

由抛物线定义知，等于P到准线的距离，

的最小值即为点E到准线的距离，等于4．

证明：由，得：，解得，代入，得，

同理，，

，

：，

变形得：，

因为，所以进一步化简得，

所以MN恒过定点．