Question

已知数列满足：，.

（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（Ⅱ）求得bn＝log2（an+1）＝2n﹣1，（），由裂项相消求和，可得Sn，再由参数分离和基本不等式可得所求范围．

（Ⅰ）由得

且

是以4为公比的等比数列

，

，

（Ⅱ），

,

,

,

且,

当且仅当n=2时取等号，,