Question

如图，在四棱锥中，平面，，，，，.

（Ⅰ）求证平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推导出AC⊥PC，AC⊥CD，由此能证明AC⊥平面PCD；

（Ⅱ）过D作直线DH⊥PC，AC⊥DH，DH⊥平面PAC，从而∠DCH为直线CD与平面PAC所成线面角，由此能求出直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值．

（Ⅰ）,,

, ,

,,,

,有公共点，

,

（Ⅱ）方法1:

过作直线垂直于，为垂足，

，，

，为所求线面角，

,

,

方法2:如图建立空间直角坐标系

,

，

设的法向量为

则

得,

,

直线与所成线面角的正弦值为.