Question

将这个自然数随机地排列在的正方形方格内，对于同一行或同一列中的任意两个数，计算较大数与较小数的商，得到个分数.把最小的分数称之为这种排列的“特征值”.试求特征值的最大值.

Answer

【解析】

首先证明：对任一排列，其特征值.

如果个自然数，，，中有两个在某行或某列中，则.

其中，、是该行或列中的两个数，且.

如果所有这个大数在不同的行及列中，则必与它们中的两个数、分别在同一行、同一列中，有，

其中，为、中较小的一个.

对于排列有.

事实上，在同一行的任意两个数的差是的倍数.因此，.

在第一列，可得公差为的等差数列

.

故.

当时，上式最后一个等号成立.

在列，从小到大排列为，，，，，，，，

其中，前项是公差为的等差数列，后项仍是公差为的等差数列，第项与第项的差为.

于是，.

当时，上式最后一个等号成立.

在第列，当时，.

因此，的最大值为.