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设、、，.证明：.

设、、，.证明：.

 

见解析 【解析】 首先证明：若、，则. ① 注意到 . 所以，不等式①成立. 回到原题，分以下两种情形： （1）若、、均为非负实数，设，， .则 . 这是关于的二次方程，其判别式 . 由式①知.从而， . ② （2）若、、中存在负数，则. 由式②得. 综上所述，原不等式成立.  
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考点分析：
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如图，在凸四边形中，为边的中点，且.分别过点、作边、的垂线，设两条垂线的交点为.过点有作于.求证：.

 

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一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.

（1）若是定义在上的周期函数，且值域为，证明：不是保三角形函数；

（2）若是保三角形函数，求的最大值.

 

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如图，在直角坐标平面中，凸四边形的四个顶点都在双曲线上，其中，点、在第一象限，点、在第三象限，对角线经过原点.求证：.

 

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已知数列满足，.求证：

（1）；

（2）.

 

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一个正整数，若不含大于1的完全平方数因子，则称为“单纯数”.那么，在这1000个数中，单纯数共有________个.

 

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