Question

一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.

（1）若是定义在上的周期函数，且值域为，证明：不是保三角形函数；

（2）若是保三角形函数，求的最大值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（l）设为函数的一个周期.因为其值域为，所以，存在，使得，.

取正整数，可知、、这三个数可作为一个三角形的三边长.但，，不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数.

（2）的最大值为.

一方面，若，下证：不是保三角形函数.

取、、.显然这三个数可作为一个三角形的三边长.但、、不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数.

另一方面，证明：当时，是保三角形函数.

对任意三角形的三边、、，若、、，则分两种情况讨论：

（i）.此时，.

同理，，.

所以，、、.

故、、.

因此、、可作为某三角形的三边长.

（ii）.此时，，则或.

若，由于，则.

因为在单调递增，所以，.

若，则.

同样可得.

总之，.

又由及余弦函数在上单调递减得.

故 .

同理，，.

因此，、、也是某三角形的三边长.

综上所述，当时，是保三角形函数.

故的最大值为.