Question

已知函数，，.

（1）当，时，求函数的最小值；

（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；

（3）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）构造新函数y=，求导判断单调性，得出最小值e.（2）变量分离a=- =h（x），根据函数的单调性求出函数h（x）的最小值，利用a的范围证明在区间(0，2)上有唯一实数根；（3）求出 ，问题转化为证 ，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根据函数的单调性证明即可．

(1)当＝0，时，= ，求导y’= =0的根x=1

所以y在（-），（0,1）递减，在（1，+ ）递增，

所以y =e

(2)+=0,所以a=- =h（x）

H’(x)=- =0的根x=2

则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，

所以h（2）是y=h（x）的极大值即最大值，即

所以函数f（x）在区间（0，2）上有唯一实数根；

(3)= -

F’(x)-2ax-a=0的两根是，

∵x1，x2是函数F（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

∴a＞0（若a≤0时，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函数，与已知矛盾），

且F'（x1）=0，F'（x2）=0．∴，…

两式相减得：，…

于是要证明，即证明，两边同除以，

即证，即证，即证，

令x1﹣x2=t，t＜0．即证不等式，当t＜0时恒成立．

设，∴=

设，∴，

当t＜0，h'（t）＜0，h（t）单调递减，

所以h（t）＞h（0）=0，即，

∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数．

∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0．

∴φ（t）＞0，得证．

∴．